Valeur Moyenne Mobile À Risque Pondérée Exponentiellement

Exploration de la moyenne mobile exponentiellement pondérée La volatilité est la mesure la plus courante de risque, mais il est disponible en plusieurs saveurs. Dans un article précédent, nous avons montré comment calculer la volatilité historique simple. Nous avons utilisé les données réelles sur les actions de Googles afin de calculer la volatilité quotidienne basée sur 30 jours de données sur les actions. Dans cet article, nous améliorerons la volatilité simple et discuterons de la moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA). Historique vs. Volatilité implicite Tout d'abord, mettons cette métrique dans un peu de perspective. Il existe deux grandes approches: la volatilité historique et implicite (ou implicite). L'approche historique suppose que le passé est prologue, nous mesurons l'histoire dans l'espoir qu'elle est prédictive. La volatilité implicite, d'autre part, ignore l'histoire qu'elle résout pour la volatilité impliquée par les prix du marché. Elle espère que le marché le sait mieux et que le prix du marché contient, même implicitement, une estimation de la volatilité. Si l'on se concentre uniquement sur les trois approches historiques (à gauche ci-dessus), elles ont deux étapes en commun: Calculer la série de retours périodiques Appliquer un schéma de pondération D'abord, nous Calculer le rendement périodique. C'est généralement une série de rendements quotidiens où chaque retour est exprimé en termes continuellement composés. Pour chaque jour, nous prenons le log naturel du ratio des prix des actions (c'est-à-dire le prix aujourd'hui divisé par le prix d'hier, et ainsi de suite). Cela produit une série de rendements quotidiens, de u i à u i-m. Selon le nombre de jours (m jours) que nous mesurons. Cela nous amène à la deuxième étape: c'est là que les trois approches diffèrent. Dans l'article précédent (Utilisation de la volatilité pour mesurer le risque futur), nous avons montré que, sous quelques simplifications acceptables, la variance simple est la moyenne des rendements au carré: Notez que ceci récapitule chacun des rendements périodiques, puis divise ce total par Nombre de jours ou observations (m). Donc, c'est vraiment juste une moyenne des rendements périodiques au carré. Autrement dit, chaque retour au carré reçoit un poids égal. Ainsi, si l'alpha (a) est un facteur de pondération (spécifiquement, un 1m), alors une variance simple ressemble à ceci: L'EWMA améliore la variance simple La faiblesse de cette approche est que tous les retours gagnent le même poids. Le retour hier (très récent) n'a plus d'influence sur la variance que le rendement des derniers mois. Ce problème est résolu en utilisant la moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA), dans laquelle les rendements plus récents ont un poids plus important sur la variance. La moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA) introduit lambda. Qui est appelé le paramètre de lissage. Lambda doit être inférieur à un. Sous cette condition, au lieu de pondérations égales, chaque rendement au carré est pondéré par un multiplicateur comme suit: Par exemple, RiskMetrics TM, une société de gestion des risques financiers, a tendance à utiliser un lambda de 0,94 ou 94. Dans ce cas, le premier La plus récente) le rendement périodique au carré est pondéré par (1-0.94) (. 94) 0 6. Le prochain rendement au carré est simplement un multiple lambda du poids antérieur dans ce cas 6 multiplié par 94 5.64. Et le troisième jour antérieur, le poids est égal à (1-0,94) (0,94) 2 5,30. C'est le sens de l'exponentielle dans EWMA: chaque poids est un multiplicateur constant (c'est-à-dire lambda, qui doit être inférieur à un) du poids des jours précédents. Cela garantit une variance pondérée ou biaisée vers des données plus récentes. (Pour en savoir plus, consultez la feuille de calcul Excel pour la volatilité de Googles.) La différence entre la volatilité et l'EWMA pour Google est illustrée ci-dessous. La volatilité simple pèse efficacement chaque rendement périodique de 0.196 comme indiqué dans la colonne O (nous avions deux années de données quotidiennes sur les cours des actions, soit 509 déclarations journalières et 1509 0.196). Mais notez que la colonne P attribue un poids de 6, puis 5.64, puis 5.3 et ainsi de suite. C'est la seule différence entre la variance simple et EWMA. Rappelez-vous: Après avoir additionné toute la série (dans la colonne Q), nous avons la variance, qui est le carré de l'écart-type. Si nous voulons la volatilité, nous devons nous rappeler de prendre la racine carrée de cette variance. Quelle est la différence entre la volatilité quotidienne entre la variance et l'EWMA dans l'affaire Googles? Sa significative: La variance simple nous a donné une volatilité quotidienne de 2,4 mais l'EWMA a donné une volatilité quotidienne de seulement 1,4 (voir la feuille de calcul pour plus de détails). Apparemment, la volatilité de Googles s'est installée plus récemment donc, une simple variance pourrait être artificiellement élevée. La variation d'aujourd'hui est une fonction de la variation des jours Pior Vous remarquerez que nous devions calculer une longue série de poids exponentiellement en déclin. Nous ne ferons pas les calculs ici, mais l'une des meilleures caractéristiques de l'EWMA est que la série entière se réduit commodément à une formule récursive: Recursive signifie que les références de variance d'aujourd'hui (c'est-à-dire une fonction de la variance des jours précédents). La variance d'aujourd'hui (sous EWMA) équivaut à la variance d'hier (pondérée par lambda) plus le rendement au carré d'hier (pesé par un lambda négatif). Remarquez comment nous ajoutons simplement deux termes ensemble: la variance pondérée d'hier et la pondération pondérée hier, au carré. Même si, lambda est notre paramètre de lissage. Un lambda plus élevé (par exemple, comme RiskMetrics 94) indique une diminution plus lente dans la série - en termes relatifs, nous allons avoir plus de points de données dans la série et ils vont tomber plus lentement. En revanche, si l'on réduit le lambda, on indique une décroissance plus élevée: les poids diminuent plus rapidement et, en résultat direct de la décroissance rapide, on utilise moins de points de données. (Dans la feuille de calcul, lambda est une entrée, donc vous pouvez expérimenter avec sa sensibilité). Résumé La volatilité est l'écart-type instantané d'un stock et la métrique de risque la plus courante. C'est aussi la racine carrée de la variance. Nous pouvons mesurer la variance historiquement ou implicitement (volatilité implicite). Lors de la mesure historique, la méthode la plus simple est la variance simple. Mais la faiblesse avec la variance simple est tous les retours obtenir le même poids. Nous sommes donc confrontés à un compromis classique: nous voulons toujours plus de données, mais plus nous avons de données, plus notre calcul est dilué par des données distantes (moins pertinentes). La moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA) améliore la variance simple en attribuant des pondérations aux rendements périodiques. En faisant cela, nous pouvons utiliser une grande taille d'échantillon mais aussi donner plus de poids à des retours plus récents. (VaR): Étapes finales Étapes spécifiques de la démarche VaR Calcul de la valeur à risque (VaR) de la variance-covariance (VCV) Cette méthode suppose que la méthode de calcul de la valeur à risque Les rendements quotidiens suivent une distribution normale. À partir de la distribution des rendements quotidiens, nous estimons l'écart-type (). La Value at Risk (VaR) quotidienne est fonction de l'écart-type et du niveau de confiance souhaité. Dans la méthode Variance-Covariance (VCV), la volatilité sous-jacente peut être calculée soit à l'aide d'une moyenne mobile simple (SMA), soit d'une moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA). Mathématiquement, la différence réside dans la méthode utilisée pour calculer l'écart-type (). Cette méthodologie est précisée plus en détail ci-dessous. Détermination de la volatilité de la SMA En vertu de l'approche VCV-SMA Value at Risk (VaR), les rendements calculés aux étapes P4 ampP5 ci-dessus sont donnés un poids égal lors du calcul de la volatilité sous-jacente selon la formule suivante: 8216n8217 représente le nombre d'observations de retour utilisées dans les calculs . Dans notre période de recul, il y avait 5 taux observés. Ceci a abouti à une observation de retour 4, c'est-à-dire n 4 dans les formules ci-dessus. Les étapes détaillées de la volatilité de la SMA sont données ci-dessous: Étape A1: Calculez la moyenne de la distribution Sachez les rendements sur la série et divisez par le nombre de retours de la série. Pour la série de rendement du portefeuille, elle est calculée comme suit: Alternativement, cela peut être obtenu en appliquant le modèle Excel8217s 8220AVERAGE8221 à la série de retour Étape A2: Calculer la variance de la distribution À chaque point de la série de retour calculer la différence du rendement Moyenne calculée à l'étape A1 ci-dessus. Placez le résultat et ensuite la somme sur toutes les différences au carré. Divisez la somme résultante par le nombre de retours de la série moins un. Pour la série de rendement du portefeuille, il s'agit de ce qui suit: On peut également arriver en appliquant la fonction excel 8220VAR8221 à la série de retour Étape A3: Calcul de la volatilité de la SMA La volatilité quotidienne de la SMA est égale à la racine carrée de la variance calculée à l'étape A2 Dessus, c'est - à - dire qu'il s'agit de l 'écart - type ou. Pour la série de rendement du portefeuille, voici le résultat: Alternativement, cela peut être obtenu en appliquant la fonction excel 8220STDEV8221 à la série de retour. Détermination de la volatilité EWMA L'approche SMA donne une importance égale à toutes les observations utilisées dans la période de rétrospection et ne tient pas compte de la Fait que l'information tend à décroître ou à devenir moins pertinente au fil du temps. La méthode EWMA, d'autre part, donne plus d'importance à l'information récente et, par conséquent, place plus de poids sur les rendements plus récents. Ceci est obtenu en spécifiant un paramètre. (0lt lt1) et de pondérer exponentiellement les données historiques. La formule de la variance EWMA est la suivante: En général, la méthodologie EWMA met davantage l'accent sur les données récentes que des poids plus élevés sont attribués par la formule à des données plus récentes. Cependant, le. Value détermine l'âge-poids des données dans la formule et la taille de l'échantillon réellement considérée. Plus la valeur de. Plus le poids diminue rapidement. Si nous nous attendons à ce que la volatilité soit très instable, nous appliquerons un faible facteur de décroissance (ce qui donne beaucoup de poids aux observations récentes et considère effectivement un échantillon plus petit lorsque les poids s'amenuisent à zéro plus rapidement). Si nous nous attendons à ce que la volatilité soit constante, nous appliquons un facteur de décroissance élevé (donnant des poids plus égaux aux observations plus anciennes). Parce que nous utilisons une petite taille d'échantillon dans notre illustration, nous avons utilisé a. De 0,5. Toutefois, une norme de l'industrie est de définir. À 0,94. Étape B2: Détermination des poids Comme indiqué dans la formule ci-dessus, les poids sont calculés à chaque point de données comme suit: Une propriété spéciale des poids utilisés dans la formule EWMA est que leur somme à l'infini sera toujours égale à 1. Cependant, Possible d'avoir un ensemble infini de données historiques. Donc, si la somme des poids n'est pas proche d'un, alors des ajustements doivent être faits. Ces ajustements incluent l'expansion de l'ensemble de données ou de la période de rétrospection pour s'assurer qu'elle est suffisamment grande pour que cette somme de poids soit proche de 1 ou bien les poids doivent être réétalonnés de sorte que leur somme soit égale à 1. Ce rééchelonnement est obtenu en divisant Les poids calculés à l'étape B2 par 1 n. Où n est le nombre d'observations de retour. Ceci est illustré dans notre exemple comme suit: Poids pondérés Poids (1-n) Étape B4: Calcul de la variance EWMA La première étape dans le calcul de la variance est de calculer les carrés des rendements à chaque point de données. Ensuite, multiplier la série au carré par les poids applicables à ce point de données, puis additionner les séries pondérées pondérées. Ceci est illustré pour la série de retour de portefeuille ci-dessous: Étape B5: Calcul de la volatilité EWMA La volatilité EWMA quotidienne est obtenue en prenant la racine carrée du résultat à l'étape B4 ci-dessus. Détermination de la VaR journalière SMA et EWMA La valeur à risque quotidienne (VaR) est simplement fonction de l'écart-type ou de la volatilité et du niveau de confiance souhaité. Plus précisément: Value at Risk (VAR). Valeur z de la distribution cumulative normale standard correspondant à un niveau de confiance spécifié. Par exemple, pour un niveau de confiance de 99, la valeur z est de 2,326 (la fonction 8216NORMSINV (.99) d'Excel8217 peut être utilisée pour déterminer la valeur z) Valeur quotidienne à risque (VaR) 2,326. Pour notre échantillon de portefeuille, la valeur à risque du VCV au niveau de confiance de 99 s'oriente vers: Détermination de la valeur quotidienne à risque (VAR) de la simulation historique La simulation historique est une approche non paramétrique de l'estimation de la valeur à risque (VaR) Les rendements ne sont soumis à aucune distribution fonctionnelle. La valeur à risque (VaR) est estimée directement à partir des données sans dériver de paramètres ni faire des hypothèses sur l'ensemble de la distribution des données. Cette méthodologie repose sur la prémisse que le modèle des rendements historiques est indicatif des rendements futurs. S tep H1: Série de retour ordonnée dérivée des étapes P4 et P5 La première étape consiste à ordonner ces rendements quotidiens par ordre croissant. Chaque retour ordonné correspond à un numéro d'index. Dans notre exemple, ceci est illustré comme suit pour la série de retour de portefeuille: R (trié par ordre croissant) Étape H2: Déterminez la valeur d'indice correspondant au niveau de confiance 1. Ceci est donné par le nombre d'observations de retour (1-niveau de confiance). Le nombre résultant est tronqué ou arrondi à un nombre entier, c'est-à-dire si le nombre résultant est 1,6, la valeur d'index sera égale à 1. Dans notre exemple, cependant, en raison de la petite taille de données, 0,99) 0,04. En suivant la méthodologie, il en résulte un indice de 0. Toutefois, comme ce n'est pas un nombre valide, le prochain nombre le plus élevé, c'est-à-dire 1, sera utilisé comme valeur d'index dans notre exemple. Étape H3: Identifier la valeur à risque historique quotidienne (VaR) La valeur historique quotidienne à risque (VaR) est la valeur absolue du rendement de la série ordonnée à l'étape H1 qui correspond à la valeur d'indice obtenue à l'étape H2. Pour la série de rendement du portefeuille, il s'agit de la valeur absolue du rendement à l'indice 1, soit 0,5002 Échelle de la VaR quotidienne Étape S1: Déterminer la période de détention La période de détention est le temps qu'il faudrait pour liquider le portefeuille d'actifs sur le marché. Dans Bâle 2, pour la plupart des cas, une période de détention de dix jours est une exigence standard. Étape S2: Mise à l'échelle de la valeur à risque quotidienne (VaR) Pour déterminer la valeur à risque (VaR) pour une période de détention de J jours, la règle de la racine carrée sera appliquée, c'est-à-dire la VaR journalière J (VaR quotidienne). Pour le portefeuille, la VaR de détention pour chaque approche est la suivante: La perte maximale que nous pourrions subir dans notre portefeuille sur une période de détention de 10 jours avec une probabilité de 99 est de PKR 3 675,36 en utilisant une approche Value at Risk (VaR) EWMA. En d'autres termes, il ya une chance que les pertes dépassent ce montant dans une période de détention de 10 jours. (Si vous souhaitez acheter la version pdf du cours Value at Risk ainsi que le fichier EXCEL, veuillez consulter notre Value at Risk en ligne (VaR) et le magasin IRS Pricing) A propos de l'auteur Jawwad Farid Jawwad Farid a construit Et la mise en œuvre de modèles de risques et de systèmes de back office depuis août 1998. En collaboration avec des clients sur quatre continents, il aide les banquiers, les membres du conseil d'administration et les autorités réglementaires à adopter une approche de gestion des risques pertinente au marché. Il est l'auteur de Models at Work et Option Greeks Primer, tous deux publiés par Palgrave Macmillan. Jawwad est un Fellow Society of Actuaries, (FSA, Schaumburg, IL), il est titulaire d'un MBA de la Columbia Business School et est diplômé en informatique de (NUCES RAPIDES). Il est professeur adjoint à la SP Jain Global School of Management à Dubaï et à Singapour où il enseigne la gestion des risques, la tarification des produits dérivés et l'entrepreneuriat. Postes populairesCalculation de la valeur à risque Exemple Calcul de la valeur à risque Exemple Cette étude de cas Valeur à risque (VaR) montre comment calculer la VaR dans Excel en utilisant deux méthodes différentes (Variance Covariance et Historical Simulation) avec des données accessibles au public. Ce dont vous aurez besoin La ressource Value at Risk et la page de référence. Ensemble de données pour les prix au comptant Gold qui peut être téléchargé de Onlygold pour la période du 1 juin 2011 au 29 juin 2012 Ensemble de données pour les prix au comptant du WTI Crude Oil qui peut être téléchargé de EIA. gov pour la période du 1er juin 2011 À 29-juin-2012 Value at Risk Exemple Nous couvrons les méthodes de covariance de variance (VCV) et de simulation historique (HS) pour le calcul de la valeur à risque (VaR). Dans la liste ci-dessous, les 6 premiers éléments concernent l'approche VCV tandis que les 3 derniers éléments se rapportent à l'approche de simulation historique. Dans le cadre de l'approche VCV, deux méthodologies distinctes pour déterminer la volatilité sous-jacente des rendements sont considérées comme la méthode de moyenne mobile simple (SMA) et la méthode de moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA). La VaR utilisant la simulation de Monte Carlo n'est pas couverte dans ce post. Nous présenterons les calculs pour: SMA volatilité quotidienne SMA quotidienne VaR Holding J SMA VaR Portefeuille holding SMA VaR EWMA volatilité quotidienne J jours de détention EWMA VaR Simulation historique quotidienne VaR Simulation historique J-day holding VaR 10 jours holding simulation historique VaR Perte pour un niveau de confiance 99 Valeur en risque exemple 8211 contexte Notre portefeuille comprend une exposition physique à 100 onces troy d'or et 1000 barils de WTI brut. Le prix de l'or (par once troy) est de 1 598,50 et le prix du WTI (par baril) est de 85,04 le 29 juin 2012. Données Séries chronologiques des prix Les données historiques sur les prix de l'or et du WTI ont été obtenues pour la période du 1 juin 2011 au 29 juin 2012 auprès de onlygold et eia. gov respectivement. La période considérée dans le calcul de la VaR est appelée la période de rétrospection. C'est le temps au cours duquel le risque doit être évalué. La figure 1 montre un extrait des données de la série chronologique quotidienne: Figure 1: Séries chronologiques pour Gold et WTI La série Return La première étape pour l'une des approches VaR est la détermination de la série return. On obtient ainsi le logarithme naturel du rapport des prix successifs comme le montre la figure 2: Figure 2: Données des séries de retour pour l'or et le WTI Par exemple, le rendement quotidien de l'or du 2 juin 2011 (cellule G17) est calculé Comme LN (cellule C17 Cell C 16) ln (1539,501533,75) 0,37. Variance Covariance Moyenne mobile simple (SMA) La prochaine volatilité quotidienne du SMA est calculée. La formule est la suivante: Rt est le taux de rendement au temps t. E (R) est la moyenne de la distribution de retour qui peut être obtenue en EXCEL en prenant la moyenne des séries de retour, c'est-à-dire MOYENNE (tableau des séries de retour). Additionner les différences au carré de Rt sur E (R) sur tous les points de données et diviser le résultat par le nombre de rendements de la série moins un pour obtenir la variance. La racine carrée du résultat est l'écart type ou la volatilité SMA de la série de retour. La volatilité quotidienne de la SMA pour l'or dans la cellule F18 est calculée en fonction de la valeur de l'écart-type (STDEV) (Série de séries de retour d'or). La volatilité quotidienne de SMA pour l'or est 1.4377 et pour WTI est 1.9856. SMA quotidienne VaR Combien êtes-vous prêt à perdre, au cours d'une période de détention donnée et avec une probabilité donnée VaR mesure la perte pire cas susceptible d'être comptabilisé sur un portefeuille sur une période de détention avec une probabilité ou un niveau de confiance donné. A titre d'exemple, en supposant un niveau de confiance, une VaR de 1 million de dollars par période de détention de dix jours signifie qu'il n'y a qu'un pour cent de chances que les pertes dépassent USD 1 au cours des dix prochains jours. Les approches SMA et EWMA de la VaR supposent que les rendements quotidiens suivent une distribution normale. La VaR quotidienne associée à un niveau de confiance donné est calculée comme suit: VaR quotidienne Volatilité ou écart-type de la série de retour z - valeur de l'inverse de la fonction de distribution cumulative normale standard (CDF) correspondant à un niveau de confiance spécifié. Nous pouvons maintenant répondre à la question suivante: Quelle est la VaR quotidienne de SMA pour Gold et WTI à un niveau de confiance de 99. Figure 4: VaR quotidienne La VaR journalière pour l'or calculée dans la cellule F16 est le produit de la La volatilité quotidienne de la SMA (Cell F18) et la valeur z de l'inverse de la CDF normale normale pour 99. Dans EXCEL, le z-score inverse au niveau de confiance 99 est calculé comme NORMSINV (99) 2,326. Par conséquent, la VaR quotidienne pour l'or et le WTI au niveau de confiance 99 s'établissent à 3.3446 et 4.6192, respectivement. J-day holding SMA VaR Scénario 1 La définition de la VaR mentionnée ci-dessus considère trois choses, la perte maximale, la probabilité et la période de détention. La période de détention est le temps qu'il faudrait pour liquider le portefeuille d'actifs sur le marché. Dans Bâle II et Bâle III, une période de détention de dix jours est une hypothèse standard. Comment incorporez-vous la période de détention dans vos calculs Quelle est la détention SMA VaR pour WTI amp Gold pour une période de détention 10 jours à un niveau de confiance de 99 Période de détention VaR VaR quotidienne SQRT (période de détention en jours) Où SQRT Fonction de la racine carrée EXCELs. Figure 5: Période de détention de 10 jours VaR 99 niveau de confiance La VaR de 10 jours pour l'or à 99 niveaux de confiance (cellule F15) est calculée en multipliant la VaR quotidienne (cellule F17 ) Avec la racine carrée de la période de détention (cellule F16). Cela s'avère être 10.5767 pour l'or et 14.6073 pour le WTI. J-day holding SMA VaR Scénario 2 Considérons la question suivante: Quelle est la détention SMA VaR pour Gold WTI ampère pour une période de détention de 252 jours à un niveau de confiance de 75 Notez que 252 jours sont pris pour représenter les jours de bourse dans une année. La méthodologie est la même que celle utilisée précédemment pour calculer la VaR SMA de détention de 10 jours à un niveau de confiance de 99, sauf que le niveau de confiance et la période de détention sont modifiés. Par conséquent, nous déterminons d'abord la VaR quotidienne au niveau de confiance. Rappelons que la VaR quotidienne est le produit de la volatilité quotidienne de la SMA des rendements sous-jacents et du z-score inverse (ici calculé pour 75, c'est-à-dire NORMSINV (75) 0,6745). La VaR quotidienne résultante est alors multipliée par la racine carrée de 252 jours pour arriver à la VaR de détention. La figure 6 ci-dessous illustre la figure 6 ci-dessous: Valeur de confiance de la période de détention de 25 jours La VaR à 75 ans pour l'or (cellule F15) est le produit de la VaR quotidienne calculée au niveau de confiance 75 (cellule F17) et La racine carrée de la période de détention (cellule F16). Il est 15.3940 pour l'or et 21.2603 pour le WTI. La VaR quotidienne est à son tour le produit de la volatilité quotidienne de la SMA (Cell F19) et de la z-score inverse associée au niveau de confiance (Cell F18). Portefeuille dédié à la VaR SMA Jusqu'à présent, nous n'avons tenu compte que du calcul de la VaR pour les actifs individuels. Comment étendre le calcul à la VaR du portefeuille Comment sont corrélées les corrélations entre les actifs comptabilisés dans la détermination de la VaR du portefeuille Examinons la question suivante: Qu'est-ce que la SMA VaR de 10 jours pour un portefeuille d'or et de WTI à un niveau de confiance de 99 La première étape de ce calcul est la détermination des pondérations pour Gold et WTI par rapport au portefeuille. Reprenons les informations de portefeuille mentionnées au début de l'étude de cas: Le portefeuille comprend 100 onces troy d'or et 1000 barils de brut WTI. Le prix de l'or (par once troy) est de 1 598,50 et le prix du WTI (par baril) est de 85,04 le 29 juin 2012. Le calcul des pondérations est présenté à la figure 7 ci-dessous: Figure 7: Poids des actifs individuels dans le portefeuille Les pondérations ont été évaluées en fonction de la valeur de marché du portefeuille le 29 juin 2012. La valeur marchande des actifs est calculée en multipliant la quantité d'un actif donné dans le portefeuille par son prix de marché le 29 juin 2012. Les pondérations sont alors calculées comme la valeur marchande de l'actif divisée par la valeur marchande du portefeuille lorsque la valeur marchande du portefeuille est la somme des valeurs marchandes pour l'ensemble des actifs du portefeuille. Ensuite, nous avons déterminé un rendement moyen pondéré pour le portefeuille pour chaque point de données (date). Figure 8: Rendements du portefeuille Le rendement moyen pondéré du portefeuille pour une date donnée est calculé comme la somme de tous les actifs du produit du rendement de l'actif pour cette date et des pondérations. Par exemple, pour le 2 juin 2011, le rendement du portefeuille est calculé comme suit (0,3765.27) (0,134.73) 0,28. Cela peut être fait dans EXCEL en utilisant la fonction SUMPRODUCT comme montré dans la barre de fonction de la figure 8 ci-dessus, appliquée à la ligne de poids (cellule C19 à cellule D19) et les lignes de retour (cellule Fxx à cellule Gxx) pour chaque date. Pour conserver la ligne de poids constante dans la formule, lorsqu'elle est copiée et collée sur la plage de points de données, des signes de dollar sont appliqués aux références de cellules de rangée de poids (c19: D19). Pour calculer la volatilité, la VaR quotidienne et la VaR de période de détention pour le portefeuille appliquent les mêmes formules que celles utilisées pour les actifs individuels. C'est-à-dire la volatilité quotidienne de la SMA pour le portefeuille VAR quotidienne pour le portefeuille VaR quotidienne pour le portefeuille VRS quotidienne (période de détention). Nous pouvons maintenant répondre à la question: Quelle est la durée de 10 jours SMA VaR pour un portefeuille d'or et WTI à un niveau de confiance de 99 Il est 9.1976. Variance Approche de la covariance 8211 Moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA) Nous allons maintenant examiner comment calculer la VAR de VCV moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA). La différence entre les méthodes EMA AM AM et l'approche VCV réside dans le calcul de la volatilité sous-jacente des rendements. Sous la SMA, la volatilité () est déterminée (comme mentionné précédemment) en utilisant la formule suivante: Sous EWMA, cependant, la volatilité de la distribution de retour sous-jacente () est calculée comme suit: Bien que la méthode SMA place l'importance égale aux rendements de la série, EWMA met davantage l'accent sur les rendements de dates et de périodes plus récentes, car l'information tend à devenir moins pertinente au fil du temps. Ceci est obtenu en spécifiant un paramètre lambda (), où 0lt lt1, et en plaçant des pondérations exponentiellement décroissantes sur les données historiques. Le. Value détermine l'âge-poids des données dans la formule de sorte que plus la valeur de. Plus le poids diminue rapidement. Si la direction s'attend à ce que la volatilité soit très instable, elle donnera beaucoup de poids aux observations récentes, tandis que si elle s'attend à ce que la volatilité soit stable, cela donnerait des poids plus égaux aux observations plus anciennes. La figure 9 ci-dessous montre comment les pondérations utilisées pour déterminer la volatilité EWMA sont calculées dans EXCEL: Figure 9: Poids utilisés dans le calcul de la volatilité EWMA Il ya 270 rendements dans notre série de retour. Nous avons utilisé un lambda de 0,94, une norme de l'industrie. Examinons d'abord la colonne M de la figure 9 ci-dessus. Le dernier retour de la série (pour le 29 juin 2012) est attribué à t-10, le retour le 28 juin 2012 sera attribué t-11 et ainsi de suite, de sorte que le premier retour dans notre série chronologique 2-Jun - 2011 a t-1 269. Le poids est un produit de deux article 1- lambda (colonne K) et lambda augmenté à la puissance de t-1 (colonne L). Par exemple le poids sur 2-Jun-2011 (cellule N25) sera Cell K25 Cell L25. Poids à l'échelle Comme la somme des poids n'est pas égale à 1, il est nécessaire de les mettre à l'échelle pour que leur somme soit égale à l'unité. Cela se fait en divisant les poids calculés ci-dessus par 1 - n, où n est le nombre de rendements de la série. La figure 10 montre ceci ci-dessous: Figure 10: Poids pondérés utilisés dans le calcul de la volatilité EWMA EWMA Variance EWMA La variance est simplement la somme de tous les points de données de la multiplication des retours au carré et des pondérations pondérées. Vous pouvez voir comment le produit des retours au carré et des poids échelonnés est calculé dans la barre de fonction de la Figure 11 ci-dessous: Figure 11: Série de retour carrée pondérée utilisée pour déterminer la variance EWMA Une fois que vous avez obtenu cette série de poids, Résume la série entière pour obtenir la variance (voir la figure 12 ci-dessous). Figure 12: EWMA Variation Volatilité EWMA quotidienne La volatilité EWMA quotidienne pour Gold, WTI amp le portefeuille se trouve en prenant le carré Racine de la variance déterminée ci-dessus. Ceci est illustré dans la barre de fonction de la figure 13 ci-dessous pour l'or: Figure 13: Volatilité quotidienne EWMA VW quotidienne EWMA VaR quotidienne EWMA Volatilité quotidienne EWMA Valeur z de la norme CDF normale inverse. C'est le même processus utilisé pour déterminer la VAR quotidienne SMA après avoir obtenu la volatilité quotidienne de la SMA. La Figure 14 montre le calcul de la VaR quotidienne EWMA au niveau de confiance 99: Figure 14: VaR quotidienne EWMA J-Jour Holding EWMA VaR Holding VaR EWMA VaR quotidienne EWMA VaR SQRT (Période de détention) qui est le même processus utilisé pour déterminer SMA VaR après Obtention quotidienne SMA VaR. Figure 15: Maintien de la VaR VaR EWMA Méthode de simulation historique Retours ordonnés Contrairement à l'approche VCV de la VaR, aucune hypothèse n'est faite sur la distribution de retour sous-jacente dans l'approche de simulation historique. La VaR est basée sur la distribution de retour réelle qui à son tour est basée sur l'ensemble de données utilisé dans les calculs. Le point de départ pour le calcul de la VaR pour nous est alors la série de retour dérivée plus tôt. Notre premier ordre de travail est de réorganiser la série dans l'ordre croissant, du plus petit retour au plus grand rendement. Chaque retour ordonné est affecté d'une valeur d'index. Ceci est illustré à la figure 16 ci-dessous: Figure 16: Rendements quotidiens commandés Virage quotidien de la simulation historique Il ya 270 retours dans la série. Au niveau de confiance 99, la VaR quotidienne sous cette méthode est égale au rendement correspondant au nombre d'indices calculé comme suit: (1-niveau de confiance) Nombre de retours où le résultat est arrondi vers le bas à l'entier le plus proche. Cet entier représente le numéro d'index pour un retour donné, comme le montre la figure 17 ci-dessous: Figure 17: Détermination du nombre d'index correspondant au niveau de confiance Le retour correspondant à ce numéro d'index est la VaR historique de simulation historique. Figure 18: VaR de simulation historique quotidienne La fonction VLOOKUP recherche le retour à la valeur d'index correspondante à partir du jeu de données de retour d'ordre. Notez que la formule prend la valeur absolue du résultat. Par exemple, au niveau de confiance de 99, le nombre entier s'arrête à 2. Pour l'or cela correspond au retour de -5.5384 ou 5.5384 en termes absolus, c'est-à-dire qu'il ya une chance que le prix de l'or tombera de plus de 5.5384 sur un Période de détention de 1 jour. Tenure 10 jours VaR de simulation historique En ce qui concerne l'approche VCV, la VaR de détention est égale à la VaR journalière par la racine carrée de la période de détention. Pour l'or cela fonctionne à 5.5384SQRT (10) 17.5139. Montant de la perte du pire cas Alors, quel est le montant de la pire des pertes pour l'or sur une période de détention de 10 jours qui ne sera dépassé qu'un jour en 100 jours (c.-à-99 niveau de confiance) calculé à l'aide de la simulation historique pire cas pour l'or 99 au cours d'une période de détention de 10 jours Valeur de marché de l'or 10 jours VaR (1598.50100) 17.5139 USD 27.996. Il ya une chance que la valeur de l'or dans le portefeuille perdra un montant supérieur à USD 27 996 sur une période de détention de 10 jours. La figure 19 résume ceci ci-dessous: Figure 19: Valeur de perte de VaR à 10 jours à 99 niveaux de confiance Postes connexes: